Operaciones entre conjunto

Operaciones entre Conjuntos

Las operaciones entre conjuntos que vamos estudiar son:

       1. Union de Conjuntos
       2. Intersecci on de Conjuntos
       3. Diferencia de Conjuntos
       4. Producto Cartesiano

1. La Uni on de Conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se puede construir un nuevo conjunto formado por los
elementos de A junto con los elementos de B. Este conjunto se llama union de A y B
y se representa por De manera formal, se de ne

Es decir, que cuando unimos dos conjuntos (aplicamos la operaci on de uni on), el
resultado siempre es otro conjunto y que ese nuevo conjunto resultante, va contener a
todos los elementos de ambos conjuntos A y B.

Ejemplo: 1.1.2.1 Sean los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1, a. 2. b. 3, 4, 5} encontrar
la union de A y B.

Observe que los elementos a y b est an en ambos conjuntos, pero en la union se
escriben solamente una vez.

La Interseccion de Conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, otra forma de construir un nuevo conjunto es tomar
los elementos en com un de A y B. Este nuevo conjunto se llama interseccion de A y
B y se representa por  Formalmente, se define

Es decir, que cuando interceptamos dos conjuntos (aplicamos la operacion de interseccion), el resultado siempre es otro conjunto y que ese nuevo conjunto resultante, va
contener a solamente los elementos comunes a A y B.

Ejemplo: 1.1.2.2 Sean los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1, a, 2, b, 3, 4, 5} encontrar
la interseccion de A y B.

Ahora bien, ¿que ocurre cuando los conjuntos no tienen elementos en comun? ¿A
qu e ser a igual ? Para hacer frente a esta situacion, es necesario introducir un
conjunto especial que llamaremos conjunto vacio, el cual representaremos por ø. El
conjunto vacio, tal y como lo indica su nombre, es el conjunto "que no tiene elementos".
Utilizando esta notacion, expresaremos el hecho de que A y B no tengan elementos en
com un escribiendo

Tambien diremos en esta situacion que los conjuntos A y B son disjuntos.

Algunos estudiantes pueden sorprenderse con la nocion de "conjunto vacio". Pueden
cuestionarse "¿como puede existir un conjunto que no contiene nada?". El problema es
similar cuando se necesito introducir el numero 0. Es simplemente una cuestion formal
que simplifica el trabajo matematico, en realidad se usa por simple conveniencia.

Al ser el conjunto vacio ø una mera convencion, debemos establecer las relaciones de
dicho conjunto con las operaciones que se han definido previamente. Dado un conjunto
A cualquiera, se tiene

Lo cual, se deja al lector el analisis del porque se obtienen los resultados anteriores.

La Diferencia entre dos Conjuntos

Existe otra operacion entre conjuntos que, en ocasiones resulta muy util. Se trata
de la diferencia de dos conjuntos, que se denotar a por A 􀀀-B, y que se define como
el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Formalmente

En ocasiones tambien se le denomina complemento de B relativo a A.

Producto Cartesiano

Existe todavia otra operacion para construir conjuntos a partir de unos dados; esta
operacion lleva implicita la nocion de "par ordenado". Por ejemplo, un punto en el
plano cartesiano, lo podemos denotar como un par ordenado (x, y) y va corresponder
de manera unica a ese punto, de esta manera si se escribe un punto de la forma (3, 5)
significa que con respecto a punto de referencia el punto esta ubicado a 3 unidades a
la derecha y 5 unidades hacia arriba.

La nocion de pares ordenados se pueden generalizar a cualquier conjunto, sin necesidad
de que sean conjuntos numericos. Dados dos conjuntos A y B, se define su
producto cartesiano A x B como el conjunto de todos los pares ordenados (a, b)
para los cuales a es un elemento de A y b es un elemento de B. Formalmente

Observe que los pares ordenados se han escrito por extenci on, usando puntos suspensivos dentro de las llaves, para omitir escribir todos los pares ordenados