Graficas de Venn y Leyes de la Teoria de Conjuntos

Graficas de Venn y Leyes de la Teoria de Conjuntos

A menudo, es muy util poder representar algunos hechos matematicos mediante
esquemas o graficas, con el objetivo de poder simplificar la comprension de los mismos.

La teoria de conjuntos, no es la excepcion. Las tres primeras operaciones, se pueden representar
mediante graficas, que nos pueden ayudar en gran mediada a la comprension del desarrollo de operaciones entre conjuntos.

Un Diagrama de Venn es una representacion grafica, normalmente ovalos o circulos, que nos muestra las relaciones existentes entre los conjuntos. Cada ovalo o circulo es un conjunto diferente. La forma en que esos c rculos se sobreponen entre si   muestra todas las posibles relaciones logicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los circulos se superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas caracteristicas comunes.

La figura 1.1 muestra los diagramas de Venn correspondientes a la union, la interseccion y a la diferencia:

Resulta evidente, que no es muy adecuado o conveniente usar gr a cos de Venn para

el producto cartesiano, por lo cu al, las graficas o diagramas de Venn los vamos utilizar solamente para las primeras tres operaciones.

Podemos generalizar estas a ideas a operaciones con mas de dos conjuntos, por ejemplo para tres conjuntos podemos usar el esquema de la figura 1.2, y sobre el, representar las diferentes operaciones que se pueden realizar sobre dichos conjuntos.

Ya planteadas las ideas b asicas, dados varios conjuntos, podemos formar nuevos conjuntos aplicando las operaciones v alidas en la teor a de conjuntos. Como en algebra, se utilizan par entesis para darle prioridad a las operaciones. Por ejemplo representa la uni on entrepor otra parte representa la intersecci on de los conjuntos 

En ocasiones, combinaciones distintas de operaciones nos llevan al mismo conjunto, cuando esto ocurre, se tiene una regla de la teor a de conjuntos. Por ejemplo, es cierto para cualesquiera conjuntos A, B y C la ecuaci on

La cu al, se puede comprobar f acilmente usando diagramas de Venn.

Otros ejemplos de leyes o reglas para la teor a de conjuntos son los siguientes:

Propiedades: 1.1.3.1 Si A, B y C son conjuntos, la uni on, intersecci on y diferencia

cumplen las siguientes propiedades:

Idempotencia

Asociativa.

Conmutativa

Distributiva

Leyes de Morgan

Estas son algunas de las leyes m as importantes, se pueden deducir muchas m as,

pero las mostradas en las propiedades 1.1.3 son las m as b asicas y m as usadas en el

tratamiento de conjuntos.